1、前言：隨著能源和水資源的全球性匱乏 , 一批關(guān)系國計(jì)民生的大型水利工程和引水調(diào)水工程在我國迅速發(fā)展, 如三峽水利樞紐 、南水北調(diào)工程等 。這些工程項(xiàng)目中經(jīng)常包含一些口徑和流量都很巨大的管道 , 如水電站機(jī)組進(jìn)水管道等 , 常規(guī)流量計(jì)無法適應(yīng) 。
  近年開發(fā)應(yīng)用的多聲路超聲流量計(jì) ,較好地解決了大口徑水流量測(cè)量的技術(shù)難題 , 流量計(jì)制造不受管道口徑的限制, 多聲路配置可以適應(yīng)較為復(fù)雜的流道結(jié)構(gòu)和流態(tài)分布 , 故超聲流量計(jì)已成為大口徑水流量測(cè)量的***佳技術(shù)選擇[ 1]。超聲流量計(jì)屬于速度式流量計(jì) , 通過測(cè)量超聲波在流體中順流和逆流傳播的時(shí)間差來計(jì)算聲路線上的平均流速 , 并通過測(cè)量多條聲路速度來加權(quán)平均計(jì)算待測(cè)截面上的平均流速 。超聲流量計(jì)需要進(jìn)行復(fù)雜運(yùn)算才能得到***終的平均流速和流量 , 其采用的數(shù)學(xué)模型準(zhǔn)確度對(duì)整個(gè)測(cè)量準(zhǔn)確度有著非常重要的意義 。
  顯然, 聲路數(shù)越多, 流量積分準(zhǔn)確度就越高, 但聲路數(shù)的增加會(huì)大大增加流量計(jì)的成本 , 所以選擇合理的聲路位置 、匹配的權(quán)重系數(shù)就十分重要。超聲流量計(jì)可以從提高時(shí)間及幾何量的測(cè)量準(zhǔn)確度來提高流量計(jì)本身的測(cè)量準(zhǔn)確度 , 但是數(shù)值積分引入的測(cè)量誤差 (簡稱積分誤差 )始終為流量計(jì)所無法繞開;特別是隨著微電子技術(shù)以及信號(hào)處理技術(shù)的飛速發(fā)展, 聲路速度的測(cè)量準(zhǔn)確度越來越高[ 2-3], 積分誤差逐漸成為提高流量測(cè)量準(zhǔn)確度的瓶頸 。對(duì)于常用的 4聲路 、8聲路超聲流量計(jì) , 積分誤差是流量計(jì)測(cè)量誤差的主要來源 ;對(duì)于聲路數(shù)更多的情況 , 積分誤差也是流量計(jì)測(cè)量準(zhǔn)確度的重要影響因素。即使流量計(jì)安裝滿足前后直管段長度要求 , 其積分誤差也依然存在 ;而若由于場地或資金限制導(dǎo)致無法滿足時(shí), 積分誤差就更應(yīng)引起注意 。

2、超聲波流量計(jì)積分原理：
  超聲流量計(jì)利用超聲波在流體中傳播的時(shí)間存在差異的特性 , 由置于待測(cè)截面兩側(cè)的一對(duì)換能器(如圖 1所示 ), 測(cè)量超聲波順流與逆流傳播的時(shí)間 td, i、 tu, i, 得到相應(yīng)聲路上的平均軸向速度[ 4](簡稱聲路速度 )：

式中 :Li為聲路長度, i為聲路角 。對(duì)于單聲路流量計(jì),截面平均流速與該聲路速度存在特定關(guān)系 , 但易受到流速分布廓形的影響 。為了提高流量計(jì)的測(cè)量準(zhǔn)確度, 在待測(cè)截面上平行地布置多條聲路 , 獲得的聲路速度可以代表待測(cè)截面上相應(yīng)平行條帶內(nèi)的平均速度 , 如圖 2所示 , 并依據(jù)各條帶所占的權(quán)重系數(shù) ωi, 用加權(quán)求和的方法計(jì)算流量 ,

圖 1　聲路速度的測(cè)量
式 (2)加權(quán)求和計(jì)算流量的方法實(shí)際利用了數(shù)值積分的原理 , 通過有限個(gè)聲路采樣點(diǎn)計(jì)算 l(z)·  v(z)的值 , 來逼近其在區(qū)間 [ -R, R] 上的定積分 :Q=∫R-Rl(z) v(z)dz=R∫1-1l(t R) v(t R)dt≈R∑Ni=1ωil(tiR) v(tiR)

圖 2　流量積算示意圖
式中 :z=t R為聲路高度, t為相對(duì)聲路高度 , l(z)為聲路寬 度。 式 (3)將數(shù)值 積分 變換 到 [ -1, 1] 區(qū)間上來 , 方便不同半徑時(shí)的計(jì)算 。若代入聲路寬度 l(z)=2 R2-z2=2R 1 -t2, 則流量為 :Q=2R2∫1-1ρ(t)·  v(t R)dt≈ 2R2∑Ni=1ωi·  v(tiR)· ρ(ti)(4)式中 :ρ(t)= 1 -t2。相對(duì)于梯形公式、辛普森公式等插值型積分要求采樣點(diǎn)固定甚至等距而言 , Gauss積分方法則是在采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)一定 、位置自由選擇等限定下積分精度***高的一種方法[ 5]。圓管中的超聲流量計(jì)一般采用 Gauss-Jaccobi積分法來確定聲路的***優(yōu)位置 ti和相應(yīng)的權(quán)重系數(shù) ωi,IEC41[ 6]及 PTC18[ 7]規(guī)程中已有不同聲路數(shù) N時(shí)的聲路高度和權(quán)重系數(shù) , 一般依此位置及系數(shù)安裝超聲探頭并計(jì)算流量 。

3、聲路高度與權(quán)重系數(shù)的推算：
3.1、Gauss-Jaccobi方案：
  根據(jù) Gauss積分理論 , 相對(duì)聲路高度 ti為帶權(quán) ρ(t)的正交多項(xiàng)式 PN(t)的根。對(duì)于圓形斷面的管道 , 由式(4)可以看到權(quán)函數(shù)為 ρ(t)= 1 -t2, 這正好為古典的 Jaccobi正交多項(xiàng)式的權(quán)函數(shù) (1 +t)α(1 -t)β的特殊情況, α=β =κ=0.5 , 故 Jaccobi正交多項(xiàng)式可以由式(5)遞推[ 8]:Pj+1=[ Pj(2j+2κ+1)x-Pj-1(j+κ)] (j+κ+1)(j+1)(j+2κ+1)(5)起始值 P-1=0, P0=1 。進(jìn)一步可以計(jì)算 PN的 N個(gè)根 ti, 即相對(duì)聲路高度。而對(duì)于矩形管道或明渠 , 權(quán)函數(shù) ρ(t)=1 ,則為 Legendre正交多項(xiàng)式問題 。此為圓形管道宜采用 Gauss-Jaccobi方案、方形管道宜采用 Gauss-Legendre方案的由來 。
  權(quán)重系數(shù) ωi可通過下面的積分得到:ωi=1ρ(ti)∫1-1ρ(t)∏Nk=0, k≠it-tkti-tkdt (6)結(jié)合 Gamma函數(shù) Γ(x)=∫∞0e-ttx-1dt, 式 (6)可以轉(zhuǎn)化為容易計(jì)算的形式:ωi=1ρ(ti)Γ2(κ+N)(κ+N)22κ+1Γ(N+1)Γ(2κ+N+1)PN-1(ti)P′N(ti)(7)式中 :PN-1(ti)為 N-1階 Jaccobi正交多項(xiàng)式 , P′N(ti)為 N階 Jaccobi正交多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù) 。值得注意的是 , 該權(quán)重系數(shù)與數(shù)學(xué)上的 Gauss-Jaccobi積分的權(quán)重系數(shù)稍有差別 , 出于實(shí)際聲路寬度可能與安裝預(yù)期值有所差異的考慮 , 將 ρ(ti)從權(quán)重系數(shù)中剔除出來, 而在積分時(shí)采用其實(shí)測(cè)值 ρ(ti)=Lisin i/2代入計(jì)算 , 如式(4)所示 。表 1給出了 4聲路及 9聲路時(shí)的相對(duì)聲路高度 ti和相應(yīng)的權(quán)重系數(shù) ωi。由于 Gauss-Jaccobi方案中 α=β =κ=0.5,可以經(jīng)數(shù)學(xué)推導(dǎo)得到相對(duì)聲路高度和權(quán)重系數(shù)的簡化計(jì)算公式[ 9]:ti=cosiπN+1, i=1, 2, …, Nωi=1ρ(ti)πN+1sin2iπN+1(8)式中 :N為聲路數(shù)量 。

3.2、OWICS方案：
  對(duì)于聲路速度分布  v(z)可由相應(yīng)階數(shù)的代數(shù)多項(xiàng)式表達(dá)的情況 , Gauss-Jaccobi方案不存在截?cái)嗾`差;但實(shí)際聲路速度分布與理想的代數(shù)多項(xiàng)式表達(dá)形式之間存在較大差異 , 特別是無法體現(xiàn)管壁處流速為零這動(dòng)特性 , 導(dǎo)致流量積分結(jié)果偏高, 而聲路數(shù)越少 , 流量計(jì)算值偏高的趨勢(shì)越強(qiáng)烈 。考慮到充分發(fā)展的圓管紊流的實(shí)際聲路速度分布與形如 (1 -t2)1/10的指數(shù)分布接近 , 可以將其從聲路速度 v(z)中提取出來, 使  v′(z)接近于 1, 從而  v′(z)更容易為代數(shù)多項(xiàng)式所表達(dá)。 進(jìn)一步將其與權(quán)函數(shù) ρ(t) =1 -t2合成得到 : v(z)ρ(t)= v′(z)(1 -t2)1/ 10ρ(t)= v′(z)(1 -t2)0.6= v′(z)ρ′(t) (9)然后按照新的權(quán)函數(shù) ρ′(t)=(1 -t2)0.6, 即 α =β =κ=0.6 , 可以計(jì)算不同聲路數(shù) N時(shí)的相對(duì)聲路高度ti和權(quán)重系數(shù) ωi, 其中 4聲路及 9聲路的結(jié)果見表 1。這種算法稱為***佳圓斷面 (OWICS)方案 , 實(shí)際也是基于正交多項(xiàng)式的 Gauss積分方案[ 10]。

3.3、權(quán)重系數(shù)與面積平均方案的比較:
  Gauss積分方案有其數(shù)值分析上的基礎(chǔ) , 在確定的聲路高度條件下 , 不同聲路的權(quán)重與其所在條帶的面積相關(guān), 但并非成正比關(guān)系 。針對(duì)計(jì)算得到的相對(duì)聲路高度ti, 計(jì)算了各聲路所在條帶的面積 , 分割為中間的梯形與兩側(cè)的弓形進(jìn)行計(jì)算 :Si=12(xi+xi+1)Δzi+ΔβiR-sinΔβiR2(10)式中 :Δβi= arcsinti-arcsinti+1 為兩側(cè)弓形的圓心角, xi與 xi+1為聲路條帶的上下兩側(cè)的弦長, 該弦正好均分相鄰聲路之間的面積 , 弦的位置 xi可利用條帶面積相等而迭代求解得到。若認(rèn)為聲路速度為所在條帶內(nèi)的平均速度 , 則聲路條帶的面積 Si可以作為截面平均速度計(jì)算時(shí)的權(quán)重系數(shù) , 為與前面的 Gauss積分方案對(duì)比 , 權(quán)重系數(shù)需進(jìn)行處理 , ωs, i=Si/ρ(ti)。對(duì)比 Gauss積分方案與面積平均方案的的權(quán)重系數(shù)發(fā)現(xiàn) , 兩者有所差別 , 如表 1所示 。 Gauss積分方案并非簡單的面積加權(quán)求和 , 其權(quán)重系數(shù)與面積加權(quán)平均相比 ,對(duì)中間聲路偏大而對(duì)邊緣聲路偏小 , 說明 Gauss積分更多的是強(qiáng)調(diào)中間聲路速度對(duì)平均流速的貢獻(xiàn), 這可能也是 Gauss積分方案對(duì)復(fù)雜聲路速度分布的適應(yīng)性要優(yōu)于面積平均方案的原因所在。

表 1　流量積分節(jié)點(diǎn)位置及求積系數(shù)

4、流量積分準(zhǔn)確度分析:
4.1、不同聲路數(shù)時(shí)的積分誤差：
  超聲流量計(jì)利用有限聲路還原整個(gè)截面上的速度分布情況, 顯而易見的是聲路越多, 流量積分越準(zhǔn)確 。根據(jù)圓管紊流理論 ,圓形管道中充分發(fā)展的流速分布通常可用指數(shù)分布來描述 , 指數(shù) n與雷諾數(shù)和相對(duì)粗糙度有關(guān)系 , 下面以 n=9時(shí)v=(1 -r)1 /9　　(0 ≤ r≤ 1) (11)為例來分析積分誤差E=Q-QiQi×100% (12)的影響因素 。式中 , Q為不同方案時(shí)的數(shù)值積分結(jié)果,Qi為數(shù)學(xué)積分的結(jié)果 。圖 3給出了 3種方案在不同聲路數(shù)時(shí)的積分誤差?？梢钥吹?, Gauss-Jaccobi方案的積分誤差均大于零, 且隨著聲路數(shù) N的增加 , 積分誤差迅速減小 , 在 N=6之后積分誤差已降至 0.05%以下, 且繼續(xù)增加聲路數(shù)不再引起很大變化 , 說明對(duì)于簡單平順的流動(dòng) , 過多的聲路數(shù)對(duì)提高流量計(jì)準(zhǔn)確度意義不大 。對(duì)于面積加權(quán)平均方案, 積分誤差也隨著聲路數(shù) N的增加而減小 , 但減小速度甚慢,36聲路時(shí)仍然保持 0.05%左右的積分誤差 。 兩者比較可以發(fā)現(xiàn) , Gauss積分方案要比面積平均方案具有更高的準(zhǔn)確度。對(duì)于***佳圓斷面方案, 積分誤差在零上下浮動(dòng),隨著聲路數(shù)的增加, 浮動(dòng)范圍逐漸減小 。對(duì)于聲路數(shù)N =2 ～ 9 , OWICS方案的積分誤差比 Gauss-Jaccobi方案還要略小 , 說明前者確實(shí)優(yōu)于后者 ;但在聲路數(shù)較大時(shí),OWICS方案的優(yōu)勢(shì)已比較微弱。

圖 3　圓管紊流條件下的積分誤差
  為了進(jìn)一步探討 3種積分方案的差異 , 利用擾流流場經(jīng)典公式：
  u(r, θ)=(1 -r)1 /n+mr(1 -r)1/kf(θ) (13)對(duì)積分誤差進(jìn)行進(jìn)一步分析 。式中 , n、 k、 m、 f(θ)為可調(diào)的參數(shù), θ在 [ 0, 2π] 內(nèi)。圖 4給出了 3種方案的積分誤差計(jì)算結(jié)果 , 點(diǎn)值為利用式 (13)描述的一組流場下的積分誤差均值 , 而豎線則表示其標(biāo)準(zhǔn)差大小 。其規(guī)律與圓管紊流情況類似 , 兩種 Gauss積分的效果要比面積加權(quán)平均好得多 , 前者積分誤差不僅能夠隨著聲路數(shù)的增加迅速收斂到零附近 , 而且波動(dòng)幅度也比同聲路數(shù)的面積加權(quán)平均方案為小 。另外進(jìn)一步說明, OWICS方案的優(yōu)勢(shì)主要體現(xiàn)在聲路數(shù)較少時(shí) ,若聲路數(shù)量受到限制 ,以采用 OWICS方案為佳 。

圖 4　擾流流場條件下的積分誤差
4.2、積分誤差的來源：
  Gauss數(shù)值積分過程具有 2N-1階代數(shù)精度 , 即若實(shí)際聲路速度分布可用 2N-1次代數(shù)多項(xiàng)式表達(dá) , 則數(shù)值過程引入的截?cái)嗾`差為零 。但是由于實(shí)際聲路速度分布曲線受邊界條件等的影響 , 造成其無法由 2N-1次多項(xiàng)式來表達(dá) , 所以流量計(jì)算的數(shù)值積分過程將引入一定的截?cái)嗾`差 , 其大小與實(shí)際聲路速度分布曲線有關(guān)系, 一般來說待測(cè)流場廓形越復(fù)雜, 積分誤差越大 。仍以式(11)中的指數(shù)流速分布為例 , 來說明積分誤差的來源。該速度分布在半徑為 1的管道中的流量可以通過數(shù)學(xué)積分得到 Q =2.678 620 。圖 5中的聲路速度曲線由該指數(shù)函數(shù)積分得到 , 具有對(duì)稱的分布特性 , 中間區(qū)域較為平坦 , 邊緣附近迅速降低為零 , 若按 Gauss-Jac-cobi方案來取 N =5進(jìn)行采樣 , 數(shù)值積分的結(jié)果為 Q =2.681 950 , 與真值相差 0.12%。圖 5中另給出了過該組采樣點(diǎn)的代數(shù)多項(xiàng)式族 (次數(shù)不大于 9, 其中 3條賦予了邊界為零的約束 ), 雖然這一組曲線分布較為復(fù)雜 , 但其描述的聲路速度分布的積分結(jié)果 Q=2.681 950 , 與數(shù)值積分的結(jié)果完全相同 , 這也驗(yàn)證了 Gauss積分具有 2N-1階代數(shù)精度的結(jié)論 。 事實(shí)上一般不會(huì)出現(xiàn)實(shí)際聲路速度曲線正好為代數(shù)多項(xiàng)式描述的情況 , 故積分過程總是存在積分誤差 。

圖 5　聲路速度分布示意圖

  Gauss-Jaccobi積分法和 OWICS積分法均建立在聲路速度分布可由代數(shù)多項(xiàng)式來表達(dá)的假設(shè)基礎(chǔ)上, 部分研究者認(rèn)為聲路速度分布根本不適合由代數(shù)多項(xiàng)式來表達(dá)[ 12], 尤其是對(duì)于流場受到擾動(dòng)的情況 , A.Nichtaw-itz[ 13]認(rèn)為利用 PCHIP多項(xiàng)式(分段立體赫爾密特插值多項(xiàng)式 )來表達(dá)流速分布比較合適, 在修正邊壁流場的情況下 , 利用 4聲路的 PCHIP積分法與 9聲路 Gauss-Jaccobi積分法大致具有相同的積分誤差 。另外也有學(xué)者[ 14-15]認(rèn)為流量計(jì)現(xiàn)場流動(dòng)非常復(fù)雜 、根本不可預(yù)測(cè) , 而采用復(fù)雜的聲道布置并輔以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行處理的思路 , 來推進(jìn)超聲流量計(jì)數(shù)學(xué)模型的研究 。

5、結(jié)論：
  本文分析了超聲流量計(jì)的流量積分原理 , 并結(jié)合數(shù)值分析理論, 推導(dǎo)了超聲流量計(jì)聲路布置方案 (Gauss-Jaccobi方案及 OWICS方案 )的聲路高度與權(quán)重系數(shù) 。通過對(duì)比 Gauss積分方法與面積加權(quán)平均方法在聲路高度相同時(shí)的權(quán)重系數(shù)差別, 發(fā)現(xiàn) Gauss積分方法更加重視中間部分聲路對(duì)平均流速的貢獻(xiàn) , 這可能是其具有更高準(zhǔn)確度的重要原因 。另外還分析了 Gauss積分方案流量積算誤差的產(chǎn)生原因 , 并對(duì)比了聲路數(shù)對(duì)積分誤差的影響 。積分誤差來源于實(shí)際聲路速度無法為代數(shù)多項(xiàng)式所表達(dá) ;聲路數(shù)越多, 積分準(zhǔn)確度越高 , 但過多聲路數(shù)對(duì)提高流量計(jì)準(zhǔn)確度意義也不大 。